معجم الرياضيات

منحنى تحليلي منتظم مُنْحَنًى تَحْلِيلِيٌّ بِحَيْثُ يَتَحَقَّقُ أَنَّ: $$\frac{dس}{dع}, \; \frac{dص}{dع}, \; \ldots \neq 0,$$ فِي هَذِهِ الحَالَةِ يُسَمَّى المُتَغَيِّرُ ع مُتَغَيِّرًا وَسِيطًا مُنْتَظِمًا (regular parameter) لِلْمُنْحَنَى.

نقطة أ للدالّة التحليليّة نُقْطَةٌ صِفْرِيَّةٌ لِلدَّالَّةِ التَّحْلِيلِيَّةِ $د(ع) - أ$. د(ع) $$د(ع) = \\sum_{m=0}^{\infty} a_m \, (ع - ع_0)^m \\ + \\sum_{m=1}^{\infty} a_{-m} \, (ع - ع_0)^{-m}$$

نقطة شاذة أساسية لدالة تحليلة إذا كانت $ع_0$ نقطة شاذة معزولة للدالة $د(ع)$، وكانت السلسلة $$\sum_{m=1}^{\infty} a_m \, (ع - ع_0)^{-m}$$ تحتوي عدداً لا نهائياً من الحدود غير الصفرية، فإن النقطة $ع_0$ تُسمَّى نقطةً شاذةً أساسيةً للدالة $د(ع)$. (انظر: نقطة شاذة معزولة لدالة تحليلة isolated singular point of an analytic function.)

نقطة شاذة معزولة لدالة تحليلة إذا وُجد جوار للنقطة الشاذة $ع_0$ تكون الدالة $د(ع)$ تحليلة عند جميع نقطه فيما عدا $ع_0$، فإنها تكون نقطةً شاذةً معزولة. فمثلاً نقطة الأصل نقطة شاذة معزولة للدالة $$د(ع) = \frac{1}{ع}.$$ وعند تدوير حلقة بحيث $|ع - ع_0| > r > 0$ تكون عليها الدالة تحليلة، ويمكن تمثيلها بسلسلة لوران على الصورة: $$د(ع) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} a_m \, (ع - ع_0)^m.$$

دالة تحليلة في متغير مركب يقال لدالة متغير مركب $د(ع)$ وحيدةِ القيمة أو متعدِّدةِ القيم مأخوذةً على أنها دالة وحيدة القيمة على سطح «ريمان» إنها تحليلة عند نقطة $ع$ إذا كانت مشتقتها موجودة لا عند $ع$ فقط بل عند كل نقطة من نقط جوارٍ ما للنقطة $ع$. يقال للدالة $د(ع)$ إنها تحليلة على منطقةٍ ما مطلقة إذا كانت تحليلة عند كل نقطة من نقط تلك المنطقة.

دالة تحليلة لمتغير حقيقي يقال للدالة $د(س)$ إنها تحليلة عندما $س = س_0$ إذا كان بالإمكان تمثيلها بسلسلة تايلور في قوى $(س - س_0)$ التي تكون مساويةً للدالة لأيِّ $س$ في جوارٍ ما للنقطة $س_0$، أي يمكن كتابتها على الصورة $$د(س) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \, (س - س_0)^n.$$ يقال للدالة إنها تَحْليلِيّة في الفترة $(أ , ب)$ إذا كانت تحليلية لكل س في الفترة $(أ , ب)$ .

نقطة شاذَّة قابلة للإزالة لدالَّة تحليليَّة إذا كانت ع₀ نقطة شاذة معزولة للدالة التحليلية د(ع)، وكانت جميع المعاملات $ب_n$ في المتسلسلة $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ب_n}{(ع-ع_0)^n} $$ تساوي صفراً، فإن النقطة ع₀ تُسمَّى نقطة شاذة قابلة للإزالة للدالة التحليلية د(ع). انظر: نقطة شاذة معزولة لدالة تحليلية (isolated singular point of an analytic function).

نقطة شاذَّة للدالَّة التَّحليليَّة نقطة لا تكون عندها دالَّة المتغيِّر المركَّب تحليليَّة، ولكن يوجد في كل جوار لها نقطة تكون الدالَّة عندها تحليليَّة.

أصفار دالَّة تحليليَّة إذا كانت د(ع) تحليليَّة عند ع، فإن ع تُسمَّى صفراً للدالَّة د(ع) إذا كان $د(ع)=0$. إذا كان $$ د(ع)=0 ,\quad د'(ع)=0 ,\; \ldots ,\; د^{(م-1)}(ع)=0 ,\quad د^{(م)}(ع) \neq 0 $$ فإن ع تُسمَّى صفراً من درجة م (zero of order $m$) للدالَّة د(ع).

عائلة قياسيَّة من الدوال التَّحليليَّة عائلة $\{ د(ع) \}$ من دوال في المتغيِّر المركَّب ع، تُسمَّى عائلة قياسيَّة في المجال ك، إذا كانت كل متتابعة لا نهائية من دوالها تحتوي متتابعة جزئية مُنتَظِمة الاقتراب، ودالَّة النهاية لها دالَّة تحليليَّة في كل منطقة مغلقة في ك.

هندسة تحليلية الهندسة التي يمثل فيها موضع النقطة غالباً (أي بالإحداثيات)، وتُستخدم فيها الطرق الجبرية في أغلب الأحوال لإثبات المبرهنات وحل المسائل.

طريقة تحليلية طريقة تعتمد على الأسلوب الرياضي المسمى تحليل. (انظر: تحليل analysis).

برهان تحليلي برهان يعتمد على الأسلوب الرياضي المسمى التحليل. (انظر: تحليل analysis).

حل تحليلي حل يعتمد على الأسلوب الرياضي المسمى التحليل. (انظر: تحليل analysis).

بنية تحليلية لفراغ غطاء لفراغ إقليدي على فراغ البعد $n$ نقطة من الفئات المفتوحة، كلٌّ منها متباين اتصالاً لنقطة مفتوحة في فراغ إقليدي ذي البعد $n$ بحيث إنه لكل مجموعتين مفتوحتين $U, V$ من هذا الغطاء يكون $U \cap V \neq \varnothing$، فإن التحويل الإحداثي في كلٍّ من الاتجاهين يُعطَى بدلالة دوال تحليلية. إذا كانت مجموعة $M \subset U \cap V$ فإن الفصل لكلٍّ من $U, V$ يكون مع نقطة مفتوحة من الفراغ الإقليدي ذي البعد $n$ تحوَّلاتها $$(x_1, x_2, \ldots, x_n), \quad (y_1, y_2, \ldots, y_n)$$ للمنطقة $M$ بحيث تكون الدوال $$x_i = x_i(y_1, y_2, \ldots, y_n), \quad y_i = y_i(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$ تحليلية. البنية التحليلية تكون حقيقية أو مركبة تبعاً لما إذا كانت الإحداثيات نقاطاً في مجموعة الأعداد الحقيقية أو المركبة.

تحليليّاً صفة لما يُنجَز باستخدام الطرق التحليلية دون الطرق التركيبية (synthetic methods).

نقطة التحليلية __continuation__ نقطة تكون عندها الدالة $د(ع)$ في المتغيِّر المركَّب $ع$ تحليلية.

السلف من النوع الأول لعلاقة ما يقال لعلاقة $ع^*$ فوق فئة عناصرها السَّلَف من النوع الأوَّل لعلاقة ما $ع$ فوق س ، ص إذا كانت $س \, ع^* \, ص$ تؤدِّي إلى وجود عدد صحيح موجب $م$ بحيث تكون هناك سلسلة من العناصر يربط بينها توالي تطبيقات للعلاقة $ع$ ابتداءً من $س$ وانتهاءً بـ $ص$ في $م$ خطوات.

السلف من النوع الثاني لعلاقة ما يقال لعلاقة $ع^*$ فوق فئة عناصرها السَّلَف من النوع الثاني لعلاقة ما $ع$ فوق س ، ص إذا كانت $س \, ع^* \, ص$ تؤدِّي إلى وجود عدد صحيح غير سالب $م$ بحيث تكون هناك سلسلة (قد تكون من طول صفر) من العناصر يربط بينها توالي تطبيقات للعلاقة $ع$ ابتداءً من $س$ وانتهاءً بـ $ص$، وحيث إن $س \, ع^* \, س$ تعني أن $س = ص$ عندما يكون عدد الخطوات صفراً.

السطح الحَلَقي السطح الناتج من دوران دائرة حول مستقيم في مستواها ويبعد عن مركزها بمقدار يزيد على نصف قطرها. ومعادلة السطح الحلقي الناتج من دوران دائرة مركزها $(س ، ص ، 0)$ ونصف قطرها ثابت $هـ$ في المستوي $ص$–$ع$ حول محور السينات هي على الصورة $$\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - c\bigr)^2 + z^2 = c^2 + h^2,$$ حيث $c$ هو بُعد مركز الدائرة عن محور الدوران و$h$ نصف قطر الدائرة.