معجم الرياضيات

مسألة بهرنس و فيشر مسألة تعيين احتمال سحب عينتين عشوائيتين الفرق بين وسطَيْهما له ( وقد يساوي الصفر ) من مجتمعين يتبعان التوزيع الطبيعي ، والفرق بين وسطَيْهما معلوم ، بينما النسبة بين تباينَيْهما مجهولة .

دالّة "بي" ( انظر : دالّة "بر" $\text{Ber function}$ ) .

الانتماء ( ورمزه $\in$ ) يكون العنصر $م$ منتميًا إلى فئة $س$ إذا كان $م$ عنصرًا من عناصرها ، ويكتب في هذه الحالة $m \in S$ . أمّا عدم الانتماء فيُرمز له بـ $m \notin S$ ، أي إذا لم يكن $م$ عنصرًا من عناصر $س$ نكتب $m \notin S$ .

نقطة انحناء نقطة على منحنى مستوٍ يكون للإحداثي الصادي عندها قيمة عظمى أو صغرى .

انحناء التغيّر في التقوّس . ( انظر : تقوّس $($curvature$)$ ) .

عزم الانحناء المجموع الجبري لجميع عزوم القوى المؤثِّرة في جانب واحد من مقطعٍ ما لعمود أو عُضوٍ حول مركز سطح هذا المقطع .

المستفيد ( تأمين ) الشخص الذي تُدفع له قيمة وثيقة تأمين واسمه وارد فيها . هو ( س ، ص ) هي ٣ س ٢ = ٢ جتا ٢ θ حيث القطب هو عقدة المنحنى ، والمحور القطبي هو خط لامس له ، و أ أكبر بعد بين القطب والمنحنى (انظر الشكل). وبدلالة الإحداثيات الديكارتية معادلته هي $(س^2 + ص^2)^2 = أ^2 (س^2 - ص^2)$ . وأول من درس هذا المنحنى هو جاك برنولي Jacques Bernoulli (١٧٠٥) .

تعويضات وثيقة تأمين المبالغ أو المبلغ الذي تدفعه شركة التأمين حال وقوع حادثة معينة طبقاً لشروط الوثيقة.

دالة بر تعرف دالة بر من درجة $ن$ بالمعادلة: $$er_n(ص) \\pm i ei_n(ص) = J_n\bigl(ص e^{\mp 3\pi i / 4}\bigr)$$ حيث $\ber_n$ و $\bei_n$ الدالتان من درجة $ن$ في المتغير المركب $ص$، و $J_n$ دالة بسل من درجة $ن$.

منحنى ليمْنِسكيت برنولي المحل الهندسي لموقع نقطة من المستوى بحيث يكون حاصل ضرب بعديها عن نقطتين ثابتتين مساوياً لثابت. أو المحل الهندسي لرأس مثلث حاصل ضرب طول الضلعين المجاورين للرأس فيه يساوي مربع طول الضلع الثالث. ومعادلة هذا المنحنى بدلالة الإحداثيات القطبية هي مثلاً: $$r^2 = a^2 \cos 2\theta.$$

معادلة برنولي معادلة تفاضلية على الصورة: $$س \\frac{dص}{dس} + ص = ص^ن \\phi(س).$$

أعداد برنولي (1) القيم العددية لمعاملات متسلسلات القوى المعروفة بأعداد برنولي، مثل: $$B_0 = 1, \quad B_1 = -\\frac{1}{2}, \quad B_2 = \\frac{1}{6}, \quad B_4 = -\\frac{1}{30}, \ldots$$ في متسلسلة التوليد: $$\\frac{س}{e^س - 1} = 1 - \\frac{1}{2} س + \\frac{1}{6} س^2 - \\frac{1}{30} س^4 + \cdots.$$ وباستخدام المتسلسلة الأسية في البسط والمتسلسلة الأسية في المقام لـ $(e^س - 1)$ ثم إجراء القسمة، نحصل على هذه المتسلسلة، وحدودها الأربعة الأولى هي كما سبق. … وكل الحدود الفردية بعد الحد $\frac{1}{2} س$ تختفي. سنرمز لأعداد برنولي بالرموز $ب_0, ب_1, \ldots$ فتكون: $$ب_0 = 1, \qquad ب_1 = -\frac{1}{2}, \qquad ب_2 = \frac{1}{6}, \qquad ب_3 = 0,$$ $$ب_4 = -\frac{1}{30}, \qquad ب_5 = 0, \qquad ب_6 = \frac{1}{42}, \qquad ب_7 = 0, \ldots$$ وبصفة عامة تُعرَّف أعداد برنولي بالعلاقة: $$\frac{س}{e^س - 1} = \sum_{ن=0}^{\infty} ب_n \frac{س^n}{n!}.$$ (٢) الأعداد المعرفة بالعلاقة: $$\sum_{م=1}^{ن} م^ك = \frac{1}{ك+1} \sum_{ر=0}^{ك} \binom{ك+1}{ر} ب_r \, ن^{ك+1-r}$$ وَ يُلاحَظ أن: $$ب_{2ر+1} = 0 \quad \text{لجميع } ر \geq 1,$$ وأن $ب_1 = -\tfrac{1}{2}$ كما في (١)، حيث $ب_n$ الحد الوزني في كثيرة حدود "برنولي".

كثيرات حدود "برنولي" (١) كثيرات الحدود $ب_n(ع)$ المعرفة بالعلاقة: $$\frac{س e^{ع س}}{e^س - 1} = \sum_{ن=0}^{\infty} ب_n(ع) \frac{س^ن}{ن!}.$$ وكثيرات حدود برنولي الأولى هي: $$ب_0(ع) = 1,$$ $$ب_1(ع) = ع - \frac{1}{2},$$ $$ب_2(ع) = ع^2 - ع + \frac{1}{6},$$ $$ب_3(ع) = ع^3 - \frac{3}{2} ع^2 + \frac{1}{2} ع,$$ $$ب_4(ع) = ع^4 - 2 ع^3 + ع^2 - \frac{1}{30}.$$ ويتبين أن $$ب_n(ع) = \sum_{ر=0}^{ن} \binom{ن}{ر} ب_r \, ع^{ن-r},$$ حيث $ب_r$ هي أعداد برنولي. (٢) كثيرات الحدود $\varphi_n(ع)$ المعرفة كذلك كالتالي: $$\varphi_n(ع) = ب_n(ع) - ب_n(0),$$ أو بصيغة أخرى تستعمل في التطبيقات المختلفة لكثيرات حدود "برنولي". ____ $$ = \frac{1 - س^ك}{1 - س} - \frac{ك س^{ك-1}}{1 - س}$$ ويلاحظ أن : $$\varphi(ع) = ل(ع) - س(ع)$$ وأن $$\varphi(0) = 0$$، وتُنسب هذه الدالة إلى عالم الرياضيات "دانييل برنولي" (1782).

نظرية "برنولي" (في الاحتمالات) حالة خاصة من نظرية النهاية المركزية (central limit theorem)، وذلك عندما يكون للتجربة احتمالان يُسميان النجاح والفشل، واحتمال النجاح $ل$ واحتمال الفشل $1 - ل$.

نظرية "برنولي" (في الإحصاء) إذا كان: (1) $ل$ احتمال وقوع الحدث $ف$ في غزلة واحدة، (2) $م$ هي النسبة المشاهدة لحدوث $ف$ في $ن$ من المحاولات، (3) $ح$ احتمال أن يكون $|م - ل| > \dfrac{ج}{\sqrt{ن}}$، حيث $ج$ عدد اختياري أكبر من الصفر، فإن نهاية $ح$ عندما $ن \rightarrow \infty$ هي الواحد الصحيح، والنظرية تُنسب إلى الرياضي "برنولي".

عيانات "برنولي" الحادثان المتشابهان في عملية عشوائية لا ينتج عنها إلا هذان الحادثان.

معادلة "برتلُو" معادلة تُحدِّد العلاقة بين ضغط غاز وحجمه ودرجة حرارته، والمصطلح منسوب إلى الفيزيقي "برتلُو".

منحنى "برتراند" منحنى أعمدته الأساسية هي الأعمدة الأساسية لمنحنى آخر.

فرضية "برتراند" يوجد دائماً عدد أول واحد على الأقل بين $ن$ و $2ن - 2$، بشرط كون $ن$ عدداً صحيحاً أكبر من $3$. مثال ذلك، إذا كانت $ن = 4$ فإن $7 = 2 \times 4 - 1$، والعدد الأول $5$ يقع بين $4$ و $6$. وقد ثَبُتَتْ صحة فرضية "برتراند"، ومن ثَمَّ فإنها نظرية صحيحة.

دوال بسل المعدلة دوال بسل المعدلة من النوعين الأول والثاني هي دوال مرتبطة بدوال بسل العادية من الدرجة $ u$ كما يأتي: $$I_ u(z) = i^{- u} J_ u(i z), \ K_ u(z) = rac{oldsymbol{ ext{ثابت}}}{2} igl( I_{- u}(z) - I_ u(z) igr)$$ حيث $J_ u(z)$ دالة بسل من النوع الأول من درجة $ u$. هذه الدوال تكون حقيقية إذا كانت $ u$ حقيقية و $z$ حقيقياً. أيضاً تُعَدُّ $I_ u(z)$ و $K_ u(z)$ حلولاً لمعادلة بسل التفاضلية المعدلة $$z^2 \frac{d^2 y}{d z^2} + z \frac{d y}{d z} - (z^2 + u^2) y = 0.$$ وتحقق هذه الدوال عدداً من العلاقات التكرارية مثل $$I_{ u-1}(z) - I_{ u+1}(z) = \frac{2 u}{z} I_ u(z), \quad I_{ u-1}(z) + I_{ u+1}(z) = 2 \frac{d I_ u}{d z}(z).$$