أعداد برنولي (Bernoulli's numbers)

أعداد برنولي (1) القيم العددية لمعاملات متسلسلات القوى المعروفة بأعداد برنولي، مثل: $$B_0 = 1, \quad B_1 = -\\frac{1}{2}, \quad B_2 = \\frac{1}{6}, \quad B_4 = -\\frac{1}{30}, \ldots$$ في متسلسلة التوليد: $$\\frac{س}{e^س - 1} = 1 - \\frac{1}{2} س + \\frac{1}{6} س^2 - \\frac{1}{30} س^4 + \cdots.$$ وباستخدام المتسلسلة الأسية في البسط والمتسلسلة الأسية في المقام لـ $(e^س - 1)$ ثم إجراء القسمة، نحصل على هذه المتسلسلة، وحدودها الأربعة الأولى هي كما سبق. … وكل الحدود الفردية بعد الحد $\frac{1}{2} س$ تختفي. سنرمز لأعداد برنولي بالرموز $ب_0, ب_1, \ldots$ فتكون: $$ب_0 = 1, \qquad ب_1 = -\frac{1}{2}, \qquad ب_2 = \frac{1}{6}, \qquad ب_3 = 0,$$ $$ب_4 = -\frac{1}{30}, \qquad ب_5 = 0, \qquad ب_6 = \frac{1}{42}, \qquad ب_7 = 0, \ldots$$ وبصفة عامة تُعرَّف أعداد برنولي بالعلاقة: $$\frac{س}{e^س - 1} = \sum_{ن=0}^{\infty} ب_n \frac{س^n}{n!}.$$ (٢) الأعداد المعرفة بالعلاقة: $$\sum_{م=1}^{ن} م^ك = \frac{1}{ك+1} \sum_{ر=0}^{ك} \binom{ك+1}{ر} ب_r \, ن^{ك+1-r}$$ وَ يُلاحَظ أن: $$ب_{2ر+1} = 0 \quad \text{لجميع } ر \geq 1,$$ وأن $ب_1 = -\tfrac{1}{2}$ كما في (١)، حيث $ب_n$ الحد الوزني في كثيرة حدود "برنولي".