كثيرات حدود "برنولي" (Bernoulli's polynomials)

كثيرات حدود "برنولي" (١) كثيرات الحدود $ب_n(ع)$ المعرفة بالعلاقة: $$\frac{س e^{ع س}}{e^س - 1} = \sum_{ن=0}^{\infty} ب_n(ع) \frac{س^ن}{ن!}.$$ وكثيرات حدود برنولي الأولى هي: $$ب_0(ع) = 1,$$ $$ب_1(ع) = ع - \frac{1}{2},$$ $$ب_2(ع) = ع^2 - ع + \frac{1}{6},$$ $$ب_3(ع) = ع^3 - \frac{3}{2} ع^2 + \frac{1}{2} ع,$$ $$ب_4(ع) = ع^4 - 2 ع^3 + ع^2 - \frac{1}{30}.$$ ويتبين أن $$ب_n(ع) = \sum_{ر=0}^{ن} \binom{ن}{ر} ب_r \, ع^{ن-r},$$ حيث $ب_r$ هي أعداد برنولي. (٢) كثيرات الحدود $\varphi_n(ع)$ المعرفة كذلك كالتالي: $$\varphi_n(ع) = ب_n(ع) - ب_n(0),$$ أو بصيغة أخرى تستعمل في التطبيقات المختلفة لكثيرات حدود "برنولي". ____ $$ = \frac{1 - س^ك}{1 - س} - \frac{ك س^{ك-1}}{1 - س}$$ ويلاحظ أن : $$\varphi(ع) = ل(ع) - س(ع)$$ وأن $$\varphi(0) = 0$$، وتُنسب هذه الدالة إلى عالم الرياضيات "دانييل برنولي" (1782).