دوال بسل المعدلة (Bessel functions, modified)

دوال بسل المعدلة دوال بسل المعدلة من النوعين الأول والثاني هي دوال مرتبطة بدوال بسل العادية من الدرجة $ u$ كما يأتي: $$I_ u(z) = i^{- u} J_ u(i z), \ K_ u(z) = rac{oldsymbol{ ext{ثابت}}}{2} igl( I_{- u}(z) - I_ u(z) igr)$$ حيث $J_ u(z)$ دالة بسل من النوع الأول من درجة $ u$. هذه الدوال تكون حقيقية إذا كانت $ u$ حقيقية و $z$ حقيقياً. أيضاً تُعَدُّ $I_ u(z)$ و $K_ u(z)$ حلولاً لمعادلة بسل التفاضلية المعدلة $$z^2 \frac{d^2 y}{d z^2} + z \frac{d y}{d z} - (z^2 + u^2) y = 0.$$ وتحقق هذه الدوال عدداً من العلاقات التكرارية مثل $$I_{ u-1}(z) - I_{ u+1}(z) = \frac{2 u}{z} I_ u(z), \quad I_{ u-1}(z) + I_{ u+1}(z) = 2 \frac{d I_ u}{d z}(z).$$