معجم الرياضيات

الجبر الجبر تعميم للحساب، فمثلًا المعادلة $٢ + ٢ = ٣ \times ٢$ ليست إلا حالة ... خاصة من التعميم الجبرى س + س + س = 3 س حيث س أى عدد. إذا تكونت المجموعة م حلقة لها الخاصتان: (1) س × س = س لكل س ∈ م. (2) لكل م ∈ م يوجد عنصر م' ∈ م بحيث س × م' = س. سميت المجموعة جبراً أولياً.

جبر من نوع σ جبر ذات جزئية جبرية يكون فيها اتحاد أى متتابعة من عناصره عنصراً من عناصره.

جبر «بانخ» جبر فوق حقل الأعداد الحقيقية (أو المركبة) معرف عليه معيار فراغ «بانخ» حقيقى (أو مركب) بحيث أن $\| س ص \| \geq \| س \|\, \| ص \|$ لكل س ، ص. يقال جبر «بانخ» إنه حقيقى أو مركب تبعاً لكون الحقل هو حقل الأعداد الحقيقية أو المركبة.

جبر بوليانى جبر يرسى على مفاهيم وضعها العالم الرياضى البريطانى «جورج بول» (1815–1864) ويستعمل غالباً فى دراسة العبارات المنطقية.

جبر إبدالى يقال جبر فوق حقل إنه إبدالى إذا كانت عملية الضرب فيه إبدالية. (انظر: جبر فوق حقل (algebra over a field)).

النظرية الأساسية فى الجبر كل معادلة على الصورة $$س^{n} + a_{n-1} س^{n-1} + \cdots + a_{1} س + a_{0} = 0$$ حيث $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ أعداد مركبة، ولواحد منها على الأقل قيمة غير صفرية، لها جذر فى حقل الأعداد المركبة.

جبر دوال مركبة جبر تتكون عناصره من دوال مركبة. يقال لعائلة ع من الدوال المركَّبة المعرَّفة على فئة س إنَّها جبر إذا كانت تحقق : ١) إذا كان $د_1, د_2 in ع$ فإن $د_1 + د_2 in ع$. ٢) إذا كان $د_1, د_2 in ع$ فإن $د_1 د_2 in ع$. ٣) إذا كان $د in ع$ و $م$ ثابتًا مركبًا فإن $م د in ع$.

جبر الدوال الحقيقية يقال لعائلة ع من الدوال الحقيقية المعرَّفة على فئة س إنَّها جبر إذا كانت تحقق : ١) إذا كان $د_1, د_2 in ع$ فإن $د_1 + د_2 in ع$. ٢) إذا كان $د_1, د_2 in ع$ فإن $د_1 د_2 in ع$. ٣) إذا كان $د in ع$ و $م$ ثابتًا حقيقيًّا فإن $م د in ع$.

جبر فئات جزئية فصل من الفئات الجزئية لفئة يُعنى مكملة كلِّ عنصرٍ من عناصره وكذلك فئة اتحاد (أو تقاطع) أي عنصرين من عناصر الفصل، وهو جبر بولياني بالنسبة لعمليتي الاتحاد والتقاطع.

جبر فوق حقل يقال لنسق س إنَّه جبر فوق حقل ك إذا كان فضاءً خطيًّا (حلقيا) على ك، وكان ضرب عناصره يحقق الخواص الآتية: ١) $(س_1 + س_2) ص = س_1 ص + س_2 ص$ لكل $س_1, س_2, ص in س$. ٢) $س (ص_1 + ص_2) = س ص_1 + س ص_2$ لكل $س, ص_1, ص_2 in س$. ٣) $(أ س) ص = أ (س ص)$ لكل $أ in ك$ ولكل $س, ص in س$. ٤) $س (أ ص) = أ (س ص)$ لكل $أ in ك$ ولكل $س, ص in س$.

جبر ذاتي الترافق يقال لجبر دوالٍ مركَّبة ع إنَّه ذاتيُّ الترافق إذا كان لكل $د in ع$ يكون مرافقه المركَّب $\overline{د} in ع$، حيث يعرَّف المرافق المركَّب للدالة كما يلي: $$\overline{د}(س) = \overline{د(س)}.$$

جبر مغلق بانتظام إذا كان ع جبرًا من دوالٍ حقيقية أو مركَّبة على فئة س، وكان مغلقًا بالنسبة للتقارب المنتظم، أي إذا كانت $د_n in ع$ لكل $n = 1,2,3,\ldots$، و$د_n \rightarrow د$ بانتظام على س فإن $د in ع$، فإنَّ ع يُقال له جبر مغلق بانتظام.

جبر ذو عنصر وحدة يقال جبر فرق حقل أنه ذو عنصر وحدة إذا كانت الحلقة ذات عنصر وحدة. (انظر: جبر فوق حقل (algebra over a field))

جبري ما ينسب إلى علم الجبر.

انحراف جبري (في الإحصاء) انحراف عن المتوسط، ويكون موجبًا أو سالبًا، إذا كانت القيمة أكبر، أو أصغر من المتوسط.

معادلة جبرية معادلة تتضمن أو تستخدم رموزًا وعمليات جبرية، مثال ذلك: $2س+3=0$ ، $س+2س+4=0$ ، $\sqrt{2-س}+ص=3$.

صيغة جبرية صيغة تتضمن أو تستخدم رموزًا وعمليات جبرية، مثال ذلك: $2س+3$ ، $س^2+3س+4$ ، $\sqrt{2-س}+ص-3$.

دالة جبرية صريحة دالة متغير مستقل س يمكن توليدها من س بعدد محدود من العمليات الجبرية، مثل: $\dfrac{\sqrt{7+س}-\sqrt{7-س}}{س}$ ، $\dfrac{\sqrt{7+س}+\sqrt{7-س}}{س}$ ، $\dfrac{\sqrt{س+7}-\sqrt{س-7}}{س}$. ومن أمثلتها كذلك كثيرات الحدود.

دالة جبرية منطقية (قياسية) كسرية خارج قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى في درجتين صحيحتين موجبتين $م$ ، $ن$ ، مثل: $$ص = \frac{a_m س^m + a_{m-1} س^{m-1} + \cdots + a_0}{b_n س^n + b_{n-1} س^{n-1} + \cdots + b_0}$$ حيث $م$ ، $ن$ عددان صحيحان موجبان، مثل: $$ص = \frac{س(س-3)}{(س-1)(س+1)}.$$

دالة جبرية ضمنية إذا لم تكن الدالة الجبرية صريحة فإنه يقال إنها ضمنية. مثل: $$ص - س^3 = 0,$$ $$ (10 - س)ص = (س + 1)^2 .$$ والدالة الأولى لا يمكن التعبير عنها كدالة صريحة، أما الدالة الثانية فيمكن التعبير عنها على صورة دالة صريحة: $$ص = rac{1 - rac{ oot{7 - س^2}}{}}{1 + rac{ oot{7 - س^2}{}}} .$$ (انظر: دالة جبرية صريحة \(explicit algebraic function\)).