نظرية "هان و بانخ" (Banach theorem, Hahn)

نظرية "هان و بانخ" نفرض أن س فضاء جزئي خطي من فراغ "بانخ" س*، وأن $f$ دالة خطية حقيقية (أو مركَّبة) متصلة معرَّفة على س. إذا كان يوجد دال شبه معياري $p$ على س* بحيث $$|f(س)| \leq p(س) \quad \text{لكل } س \in س,$$ فإنه يوجد امتداد خطي متصل $F$ معرَّف على س* يحقق: 1) $F(س) = f(س)$ لكل $س \in س$. 2) $|F(س)| \leq p(س)$ لكل $س \in س^*$. وفي الحالة الخاصة التي يكون فيها $p(س) = \|س\|$ لفراغ "بانخ"، يمكن اختيار $F$ بحيث يكون $\|F\| = \|f\|$؛ أي إن معيار الامتداد يساوي معيار الدالة الأصلية.