فراغ "بانخ" (Banach space)

فراغ "بانخ" فراغ إخطائي فوق حقل الأعداد الحقيقية أو المركبة يصاحب كل عنصر س فيه عدد حقيقي $\|س\|$ يُسمَّى مقياسًا أو معيارًا (norm) لـس ويحقق الفروض: 1) $\|س\| > 0$ إذا كان $س \neq 0$، و $\|0\| = 0$. 2) $\|\alpha س\| = |\alpha|\,\|س\|$ لكل عدد $\alpha$. 3) $\|س+ص\| \leq \|س\| + \|ص\|$ لكل $س, ص$ في الفراغ. 4) الفراغ يكون تامًّا (complete)، أي إن كل متتالية كوشي فيه (أي متتالية $(س_n)$ بحيث $\|س_n - س_m\| \rightarrow 0$ عندما $n,m \rightarrow \infty$) تكون لها نهاية في هذا الفراغ. ويُسمَّى الفراغ فراغ "بانخ" حقيقيًّا (real Banach space) إذا كان الفراغ الإخطائي فوق حقل الأعداد الحقيقية، أو مركَّبًا (complex Banach space) إذا كان فوق حقل الأعداد المركبة. ومن أمثلة فراغات "بانخ": فراغات "هيلبرت" (Hilbert spaces)، والفراغات $\ell^p$ (لـ $1 \leq p < \infty$) لجميع المتتابعات $س = (س_1, س_2, \dots)$ بحيث $\sum_{n=1}^{\infty} |س_n|^p$ متقاربة؛ ويُعرَّف معيارها بـ: $$\|س\| = \left( \sum_{n=1}^{\infty} |س_n|^p \right)^{1/p}.$$